વિધેય $f: R \to R$ જે $f(x) = x^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $x \in R$,તે

ધારો કે $A = \{x_1, x_2, \dots, x_7\}$ અને $B = \{y_1, y_2, y_3\}$ એ બે ગણ છે જેમાં અનુક્રમે સાત અને ત્રણ ભિન્ન ઘટકો છે. તો $A$ માંથી $B$ પરના એવા વ્યાપ્ત વિધેયો $f : A \to B$ ની કુલ સંખ્યા શોધો કે જેમાં $A$ ના બરાબર ત્રણ ઘટકો માટે $f(x) = y_2$ થાય.

સાબિત કરો કે $f: N \rightarrow N$,જે $f(x) = \begin{cases} x+1, & \text{જો } x \text{ એકી હોય} \\ x-1, & \text{જો } x \text{ બેકી હોય} \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તે એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેય છે.

જો $f: R \rightarrow R$ એ $x \in R$ માટે $f(x)=x-[x]-\frac{1}{2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય, જ્યાં $[x]$ એ $x$ થી નાનો મહત્તમ પૂર્ણાંક છે, તો $\{x \in R: f(x)=\frac{1}{2}\}$ કોના બરાબર છે?

ધારો કે $X$ એ બરાબર $5$ ઘટકો ધરાવતો ગણ છે અને $Y$ એ બરાબર $7$ ઘટકો ધરાવતો ગણ છે. જો $\alpha$ એ $X$ થી $Y$ પરના એક-એક વિધેયોની સંખ્યા હોય અને $\beta$ એ $Y$ થી $X$ પરના વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા હોય,તો $\frac{1}{5!}(\beta-\alpha)$ ની કિંમત શોધો.

સાબિત કરો કે $f(x) = \frac{1}{x}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f: R_* \rightarrow R_*$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે,જ્યાં $R_*$ એ તમામ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. જો પ્રદેશ $R_*$ ને $N$ દ્વારા બદલવામાં આવે અને સહ-પ્રદેશ $R_*$ સમાન રહે,તો શું આ પરિણામ સાચું છે?