फलन $f:R \to \left[ { - \frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right],$ जो $f(x) = \frac{x}{1 + x^2}$ द्वारा परिभाषित है,वह

मान लीजिए $R$ वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है और $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = \frac{\{x\}}{1+[x]^2}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,जहाँ $[x]$ वह महत्तम पूर्णांक है जो $x$ से कम या उसके बराबर है,और $\{x\} = x-[x]$ है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$I.$ $f$ का परिसर एक संवृत अंतराल है।
$II.$ $f, R$ पर संतत है।
$III.$ $f, R$ पर एकैकी (one-one) है।

मान लीजिए $A \subseteq R, B \subseteq R$ और $f: A \rightarrow B$ को $f(x)=x^2-3x+2$ द्वारा परिभाषित किया गया है। यदि $f$ एक बाइजेक्शन (एकैकी और आच्छादक फलन) है,तो

यदि $f(x) = \begin{cases} x, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$ और $g(x) = \begin{cases} x, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$ है,तो फलन $(f - g)$ है:

दिया गया है कि $f: S \rightarrow R$ में $c \in S$ को $f$ का स्थिर बिंदु (fixed point) कहा जाता है यदि $f(c)=c$ हो। मान लीजिए $f:[1, \infty) \rightarrow R$ को $f(x)=1+\sqrt{x}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। तो:

यदि एक वास्तविक मान वाला फलन $f$,$f(x) = \frac{ax + \sqrt{a^2 - x^2}}{bx}$ द्वारा परिभाषित है,तो $f$ है