मान लीजिए R वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है औ | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{\{x\}}{1+[x]^2}$.$I.$ किसी भी $x \in R$ के लिए,मान लीजिए $n = [x]$,तो $x = n + \{x\}$ जहाँ $0 \le \{x\} < 1$ है। अतः $f(

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$I, II$ और $III$ में से कोई नहीं

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(D) दिया गया है $f(x) = \frac{\{x\}}{1+[x]^2}$.$I.$ किसी भी $x \in R$ के लिए,मान लीजिए $n = [x]$,तो $x = n + \{x\}$ जहाँ $0 \le \{x\} $II.$ $x = n$ (एक पूर्णांक) पर,$\lim_{x 	o n^-} f(x) = \lim_{x 	o n^-} \frac{x-[x]}{1+[x]^2} = \frac{n-(n-1)}{1+(n-1)^2} = \frac{1}{1+(n-1)^2}$,जबकि $f(n) = \frac{n-n}{1+n^2} = 0$ है। चूँकि सीमा पूर्णांकों पर फलन के मान के बराबर नहीं है,इसलिए $f$ सभी पूर्णांकों पर असंतत है। अतः,कथन $II$ असत्य है।$III.$ ध्यान दें कि $f(0) = \frac{0}{1+0^2} = 0$ और $f(1) = \frac{1-1}{1+1^2} = 0$ है। चूँकि $f(0) = f(1)$ है लेकिन $0 
eq 1$,इसलिए $f$ एकैकी नहीं है। अतः,कथन $III$ असत्य है।अतः,दिए गए कथनों में से कोई भी सत्य नहीं है।

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सिद्ध कीजिए कि फलन $f : R \rightarrow \{ x \in R : -1 < x < 1 \}$ जो $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$ द्वारा परिभाषित है,एकैकी और आच्छादक फलन है।

समुच्चय $\{1, 2, 3, \ldots, n\}$ से स्वयं पर सभी आच्छादक (onto) फलनों की संख्या ज्ञात कीजिए।

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