अंतराल left[frac{1}{sqrt{3}}, sqrt{3}right] प | vedclass

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Question

(B) दिया गया फलन $f(x) = 	an^{-1} x - \frac{1}{2} \ln x$ अंतराल $x \in \left[\frac{1}{\sqrt{3}}, \sqrt{3}ight]$ पर है।सबसे पहले, अवकलज $f'(x)$ ज्ञा

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$f_{\max }=\pi / 6+\frac{1}{4} \ln 3$

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(B) दिया गया फलन $f(x) = 	an^{-1} x - \frac{1}{2} \ln x$ अंतराल $x \in \left[\frac{1}{\sqrt{3}}, \sqrt{3}ight]$ पर है।सबसे पहले, अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:$f'(x) = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{2x} = \frac{2x - (1+x^2)}{2x(1+x^2)} = \frac{-(x-1)^2}{2x(1+x^2)}$.चूंकि $-(x-1)^2 \leq 0$ और $2x(1+x^2) > 0$ है, इसलिए $f'(x) \leq 0$ प्राप्त होता है।अतः, $f(x)$ दिए गए अंतराल पर एक ह्रासमान फलन है।अधिकतम मान बाएं छोर $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ पर प्राप्त होता है:$f_{\max} = f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}ight) = 	an^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}ight) - \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1}{\sqrt{3}}ight) = \frac{\pi}{6} + \frac{1}{4} \ln 3$.न्यूनतम मान दाएं छोर $x = \sqrt{3}$ पर प्राप्त होता है:$f_{\min} = f(\sqrt{3}) = 	an^{-1}(\sqrt{3}) - \frac{1}{2} \ln(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} - \frac{1}{4} \ln 3$.

अंतराल $\left[\frac{1}{\sqrt{3}}, \sqrt{3}\right]$ पर $f(x)=\tan ^{-1} x-\frac{1}{2} \ln x$ के अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

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