k का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए फलन f( | vedclass

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Question

(D) माना $f(x) = {x^2} + kx + 1$ है। फलन के अंतराल $[1, 2]$ में वर्धमान होने के लिए,इसका अवकलज $f'(x) \geq 0$ होना चाहिए,जहाँ $x \in [1, 2]$ है। अवकलन

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$-2$

Vedclass · Answer

(D) माना $f(x) = {x^2} + kx + 1$ है। फलन के अंतराल $[1, 2]$ में वर्धमान होने के लिए,इसका अवकलज $f'(x) \geq 0$ होना चाहिए,जहाँ $x \in [1, 2]$ है। अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = 2x + k$ प्राप्त होता है। शर्त $f'(x) \geq 0$ को लागू करने पर,$2x + k \geq 0$,जिसका अर्थ है कि $k \geq -2x$ है। चूँकि यह अंतराल $[1, 2]$ के सभी $x$ के लिए सत्य होना चाहिए,इसलिए $k$ को इस अंतराल पर $-2x$ के अधिकतम मान से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए। $x \in [1, 2]$ के लिए,फलन $g(x) = -2x$ एक ह्रासमान फलन है। इसलिए,$g(x)$ का अधिकतम मान इसके निचले सीमा बिंदु $x = 1$ पर प्राप्त होता है। $g(1) = -2(1) = -2$ है। अतः,$k \geq -2$ है। इसलिए $k$ का न्यूनतम मान $-2$ है।

$k$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए फलन $f(x) = {x^2} + kx + 1$ अंतराल $1 \leq x \leq 2$ में एक वर्धमान फलन है।

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यदि $f(x) = 1 + x + \int_{1}^{x} (\ln^2 t + 2 \ln t) \, dt$ है,तो $f(x)$ किस अंतराल में वर्धमान है?

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मान लीजिए $f(x) = \int e^x (x - 1)(x - 2) dx$ है। $f$ किस अंतराल में एक ह्रासमान (decreasing) फलन है?

यदि $f(x) = x^2 + kx + 1$ अंतराल $[1, 2]$ पर एक निरंतर वर्धमान फलन है,तो $k$ का न्यूनतम मान क्या है?

फलन $f(x) = \frac{\ln(\pi + x)}{\ln(e + x)}$ है

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