रेखा x+y+2=0 वृत्त x^2+y^2+4x-4y-4=0 को दो बि | vedclass

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Question

(B) रेखा $x+y+2=0$ और वृत्त $x^2+y^2+4x-4y-4=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+4x-4y-4+\lambda(x+y+2)=0$ है। पदों को व

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$8$

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(B) रेखा $x+y+2=0$ और वृत्त $x^2+y^2+4x-4y-4=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+4x-4y-4+\lambda(x+y+2)=0$ है। पदों को व्यवस्थित करने पर,$x^2+y^2+(4+\lambda)x+(\lambda-4)y+(2\lambda-4)=0$ प्राप्त होता है। इसे $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के साथ तुलना करने पर,$2g = 4+\lambda$,$2f = \lambda-4$,और $c = 2\lambda-4$ मिलता है। वृत्त $S$ का केंद्र $(-g, -f) = \left(-\frac{4+\lambda}{2}, -\frac{\lambda-4}{2}\right)$ है। केंद्र $(-g, -f)$ की रेखा $x+y+2=0$ से दूरी $\sqrt{2}$ दी गई है। दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$\left|\frac{-g-f+2}{\sqrt{1^2+1^2}}\right| = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है। इसका अर्थ है $|-g-f+2| = 2$,अतः $-g-f+2 = 2$ या $-g-f+2 = -2$। स्थिति $1$: $g+f = 0$। $g$ और $f$ का मान रखने पर,$\frac{4+\lambda}{2} + \frac{\lambda-4}{2} = 0 \Rightarrow \lambda = 0$। यदि $\lambda=0$ है,तो यह मूल वृत्त ही रहता है,लेकिन प्रश्न में $S$ एक अलग वृत्त है। स्थिति $2$: $g+f = 4$। $g$ और $f$ का मान रखने पर,$\frac{4+\lambda}{2} + \frac{\lambda-4}{2} = 4 \Rightarrow \lambda = 4$। $\lambda=4$ के लिए,$g = 4$,$f = 0$,और $c = 4$ प्राप्त होता है। अतः,$g+f+c = 4+0+4 = 8$।

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वह बिंदु जिस पर वृत्त $x^2+y^2-4x-4y+7=0$ और $x^2+y^2-12x-10y+45=0$ एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं,है:

वृत्तों $x^2 + y^2 = 25$ और $x^2 + y^2 - 8x + 7 = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं

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