argleft( frac{z - 1}{z + 1} right) = k (जहाँ | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $arg\left( \frac{z - 1}{z + 1} \right) = k$. मान लीजिए $z = x + iy$. तब $arg\left( \frac{(x - 1) + iy}{(x + 1) + iy} \right) = k$. $ar

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$y$-अक्ष पर केंद्र वाला वृत्त

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $arg\left( \frac{z - 1}{z + 1} ight) = k$. मान लीजिए $z = x + iy$. तब $arg\left( \frac{(x - 1) + iy}{(x + 1) + iy} ight) = k$. $arg(z_1/z_2) = arg(z_1) - arg(z_2)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$arg((x - 1) + iy) - arg((x + 1) + iy) = k$. यह दर्शाता है कि $	an^{-1}\left( \frac{y}{x - 1} ight) - 	an^{-1}\left( \frac{y}{x + 1} ight) = k$. $	an^{-1} A - 	an^{-1} B = 	an^{-1}\left( \frac{A - B}{1 + AB} ight)$ का उपयोग करने पर,$	an^{-1}\left( \frac{\frac{y}{x - 1} - \frac{y}{x + 1}}{1 + \frac{y^2}{x^2 - 1}} ight) = k$. व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{y(x + 1) - y(x - 1)}{x^2 - 1 + y^2} = 	an k$. यह $\frac{2y}{x^2 + y^2 - 1} = 	an k$ या $x^2 + y^2 - 1 = 2y \cot k$ में सरल हो जाता है। पुनर्व्यवस्थित करने पर $x^2 + y^2 - 2y \cot k - 1 = 0$ प्राप्त होता है। यह एक वृत्त का समीकरण है जिसका केंद्र $(0, \cot k)$ है,जो $y$-अक्ष पर स्थित है।

$arg\left( \frac{z - 1}{z + 1} \right) = k$ (जहाँ $k$ शून्य नहीं है) को संतुष्ट करने वाले बिंदु $z$ का बिंदुपथ क्या है?

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