वह अधिकतम अंतराल जिसमें वक्र y=x^4+5x^3+9x^2+ | vedclass

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Question

(D) माना $f(x) = y = x^4+5x^3+9x^2+6x+2$. वक्र की स्पर्श रेखा की ढाल $m(x) = \frac{dy}{dx} = 4x^3+15x^2+18x+6$ द्वारा दी जाती है। ढाल $m(x)$ के बढ़ने

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$R-\left(\frac{-3}{2}, -1\right)$

Vedclass · Answer

(D) माना $f(x) = y = x^4+5x^3+9x^2+6x+2$. वक्र की स्पर्श रेखा की ढाल $m(x) = \frac{dy}{dx} = 4x^3+15x^2+18x+6$ द्वारा दी जाती है। ढाल $m(x)$ के बढ़ने के लिए, इसका अवकलज शून्य या उससे अधिक होना चाहिए, अर्थात $\frac{dm}{dx} = \frac{d^2y}{dx^2} \ge 0$. द्वितीय अवकलज की गणना करने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} = 12x^2+30x+18$. द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $12x^2+30x+18 = 6(2x^2+5x+3) = 6(2x+3)(x+1)$. हमें $6(2x+3)(x+1) \ge 0$ की आवश्यकता है। क्रांतिक बिंदु $x = -\frac{3}{2}$ और $x = -1$ हैं। अंतरालों की जाँच करने पर: $1$) $x \in (-\infty, -\frac{3}{2}]$ के लिए, $\frac{d^2y}{dx^2} \ge 0$. $2$) $x \in [-\frac{3}{2}, -1]$ के लिए, $\frac{d^2y}{dx^2} \le 0$. $3$) $x \in [-1, \infty)$ के लिए, $\frac{d^2y}{dx^2} \ge 0$. अतः, ढाल $(-\infty, -\frac{3}{2}] \cup [-1, \infty)$ अंतराल में बढ़ती है, जिसे $R - (-\frac{3}{2}, -1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

वह अधिकतम अंतराल जिसमें वक्र $y=x^4+5x^3+9x^2+6x+2$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की ढाल बढ़ती है, है

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