$x e^{-x}$ का अधिकतम मान क्या है?

$e^{(2x^2 - 2x - 1)\sin^2 x}$ का न्यूनतम मान ....... है।

मान लीजिए $f(x) = \int_{0}^{x} e^{x+t} dt$ है,तो उस बिंदु का भुज (abscissa) ज्ञात कीजिए जहाँ $f(x)$ की स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के समांतर है।

$r$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित आयत का अधिकतम क्षेत्रफल क्या है?

मान लीजिए $S$,$R$ से $R$ तक के सभी दो बार अवकलनीय फलनों $f$ का समुच्चय है,ताकि सभी $x \in (-1, 1)$ के लिए $\frac{d^2 f}{d x^2}(x) > 0$ हो। $f \in S$ के लिए,मान लीजिए $X_f$,$(-1, 1)$ में उन बिंदुओं $x$ की संख्या है जिनके लिए $f(x) = x$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ एक ऐसा फलन $f \in S$ मौजूद है जिसके लिए $X_f = 0$
$(B)$ प्रत्येक फलन $f \in S$ के लिए,$X_f \leq 2$ होता है
$(C)$ एक ऐसा फलन $f \in S$ मौजूद है जिसके लिए $X_f = 2$
$(D)$ $S$ में ऐसा कोई फलन $f$ मौजूद $\text{नहीं}$ है जिसके लिए $X_f = 1$

मान लीजिए $S=(-1, \infty)$ और $f: S \rightarrow R$ को $f(x)=\int_{-1}^x (e^t-1)^{11}(2t-1)^5(t-2)^7(t-3)^{12}(2t-10)^{61} dt$ के रूप में परिभाषित किया गया है। मान लीजिए $p$,$x$ के उन मानों के वर्गों का योग है जहाँ $f(x)$,$S$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ (local maxima) प्राप्त करता है,और $q$,$x$ के उन मानों का योग है जहाँ $f(x)$,$S$ पर स्थानीय निम्निष्ठ (local minima) प्राप्त करता है। तब,$p^2+2q$ का मान है