|z|=1 और left|frac{z}{bar{z}}+frac{bar{z}}{z} | vedclass

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Question

(D) $|z|=1$ दिया गया है,हम $z = e^{i	heta}$ लिख सकते हैं जहाँ $	heta \in [0, 2\pi)$.तब $\bar{z} = e^{-i	heta}$.अतः,$\frac{z}{\bar{z}} = e^{i2	heta

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$8$

Vedclass · Answer

(D) $|z|=1$ दिया गया है,हम $z = e^{i	heta}$ लिख सकते हैं जहाँ $	heta \in [0, 2\pi)$.तब $\bar{z} = e^{-i	heta}$.अतः,$\frac{z}{\bar{z}} = e^{i2	heta}$ और $\frac{\bar{z}}{z} = e^{-i2	heta}$.दिया गया समीकरण $\left|e^{i2	heta} + e^{-i2	heta}ight| = 1$ है।ऑयलर के सूत्र का उपयोग करने पर,$e^{i2	heta} + e^{-i2	heta} = 2\cos(2	heta)$.अतः,$|2\cos(2	heta)| = 1$,जिसका अर्थ है $|\cos(2	heta)| = \frac{1}{2}$.इसका अर्थ है $\cos(2	heta) = \pm \frac{1}{2}$.$	heta \in [0, 2\pi)$ के लिए,$2	heta \in [0, 4\pi)$.यदि $\cos(2	heta) = \frac{1}{2}$ है,तो $2	heta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{11\pi}{3}$.यदि $\cos(2	heta) = -\frac{1}{2}$ है,तो $2	heta = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}$.$	heta$ के लिए $8$ अलग-अलग मान मिलते हैं,इसलिए ऐसी $8$ सम्मिश्र संख्याएँ $z$ संभव हैं।

$|z|=1$ और $\left|\frac{z}{\bar{z}}+\frac{\bar{z}}{z}\right|=1$ को संतुष्ट करने वाली सम्मिश्र संख्याओं $z$ की संख्या क्या है?

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