$VOWELS$ शब्द के सभी अक्षरों का उपयोग करके बनने वाले छह अक्षरों वाले शब्दों (अर्थपूर्ण या अर्थहीन) की संख्या ज्ञात कीजिए,ताकि सभी व्यंजन कभी भी एक साथ न आएं।

आठ कुर्सियों को $1$ से $8$ तक क्रमांकित किया गया है। दो महिलाएं और तीन पुरुष प्रत्येक एक कुर्सी पर बैठना चाहते हैं। पहले महिलाएं $1$ से $4$ तक चिह्नित कुर्सियों में से कुर्सियां चुनती हैं,और फिर पुरुष शेष कुर्सियों में से कुर्सियां चुनते हैं। संभावित व्यवस्थाओं की संख्या है

यदि $0 < r < s < n$ और ${}^n P_r = {}^n P_s$ है,तो $r + s$ का मान ज्ञात कीजिए।

$0, 1, 2, 3, 4$ अंकों का उपयोग करके $1000$ से बड़ी और $4000$ से बड़ी न होने वाली कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं? (अंकों की पुनरावृत्ति मान्य है।)

$0, 1, 2, 3$ अंकों का उपयोग करके सभी संभावित चार अंकों की संख्याएँ बनाई जाती हैं ताकि कोई भी अंक दोहराया न जाए। उनमें से सम संख्याओं की संख्या है

यदि शब्द $EXAMINATION$ के सभी अक्षरों के विभिन्न क्रमचयों को शब्दकोश के अनुसार सूचीबद्ध किया जाए,तो $E$ से शुरू होने वाले पहले शब्द से पहले इस सूची में कितने शब्द होंगे?