समीकरणों x+y+z=12,x^2+y^2+z^2=50,और x^3+y^3+z | vedclass

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Question

(A) दिए गए समीकरण हैं:$x+y+z=12$ ... $(i)$$x^2+y^2+z^2=50$ ... $(ii)$$x^3+y^3+z^3=216$ ... $(iii)$सर्वसमिका $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)$ का उ

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$6$

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(A) दिए गए समीकरण हैं:$x+y+z=12$ ... $(i)$$x^2+y^2+z^2=50$ ... $(ii)$$x^3+y^3+z^3=216$ ... $(iii)$सर्वसमिका $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)$ का उपयोग करने पर:$12^2 = 50 + 2(xy+yz+zx)$$144 - 50 = 2(xy+yz+zx)$$xy+yz+zx = 47$सर्वसमिका $x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx))$ का उपयोग करने पर:$216 - 3xyz = 12(50 - 47)$$216 - 3xyz = 12(3) = 36$$3xyz = 180 \Rightarrow xyz = 60$अब,$x, y, z$ त्रिघात समीकरण $t^3 - (x+y+z)t^2 + (xy+yz+zx)t - xyz = 0$ के मूल हैं:$t^3 - 12t^2 + 47t - 60 = 0$मूलों की जाँच करने पर,$t=3$ के लिए: $27 - 12(9) + 47(3) - 60 = 27 - 108 + 141 - 60 = 0$. अतः $(t-3)$ एक गुणनखंड है।$(t-3)(t^2-9t+20) = 0$$(t-3)(t-4)(t-5) = 0$मूल $3, 4, 5$ हैं।चूंकि $x, y, z$ समुच्चय ${3, 4, 5}$ का कोई भी क्रमचय हो सकते हैं,इसलिए हलों की संख्या $3! = 6$ है।

समीकरणों $x+y+z=12$,$x^2+y^2+z^2=50$,और $x^3+y^3+z^3=216$ के हलों की संख्या क्या है?

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