$\theta \in (0, \pi)$ માટે એવા $\theta$ ના મૂલ્યોની સંખ્યા શોધો જેના માટે સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $x + 3y + 7z = 0$,$-x + 4y + 7z = 0$,અને $(\sin 3\theta)x + (\cos 2\theta)y + 2z = 0$ નો ઉકેલ અશૂન્ય (non-trivial) હોય.

ધારો કે $f(\theta) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & \cos \theta & -1 \\ -\sin \theta & 1 & -\cos \theta \\ -1 & \sin \theta & 1 \end{array} \right|$. ધારો કે $A$ અને $B$ એ અનુક્રમે $f(\theta)$ ની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો છે. તો $(A, B)$ બરાબર છે

અંતરાલ $-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$ માં $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x}&{\cos x}&{\cos x}\\{\cos x}&{\sin x}&{\cos x}\\{\cos x}&{\cos x}&{\sin x}\end{array}} \right| = 0$ ના ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો શ્રેણિક $\begin{bmatrix} \alpha & 14 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 6 & 2 & 3 \end{bmatrix}$ નો વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ધરાવતો ન હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

જો $(x, 0), (1, 1)$ અને $(0, 2)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $4$ ચોરસ એકમ હોય,તો $x$ ની કિંમત શોધો.

નિશ્ચાયક $ \left|\begin{array}{ccc}a-b & b+c & a \\ b-c & c+a & b \\ c-a & a+b & c\end{array}\right| $ નું મૂલ્ય શું છે?