વાસ્તવિક સંખ્યાઓની જોડી (a, b) ની સંખ્યા શોધો | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $x^{2}+ax+b=0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.જો $\alpha$ બીજ હોય,તો $\alpha^{2}-2$ પણ બીજ હોવું જોઈએ.કિસ્સો $1$: $\alpha = \beta$. તો $\a

Vedclass · Accepted Answer

$6$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $x^{2}+ax+b=0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.જો $\alpha$ બીજ હોય,તો $\alpha^{2}-2$ પણ બીજ હોવું જોઈએ.કિસ્સો $1$: $\alpha = \beta$. તો $\alpha = \alpha^{2}-2$,તેથી $\alpha^{2}-\alpha-2=0$,જે $\alpha=2$ અથવા $\alpha=-1$ આપે છે.જો $\alpha=2$,તો $x^{2}-4x+4=0$,તેથી $(a, b) = (-4, 4)$.જો $\alpha=-1$,તો $x^{2}+2x+1=0$,તેથી $(a, b) = (2, 1)$.કિસ્સો $2$: $\alpha 
eq \beta$. બીજનો ગણ $S = \{\alpha, \beta\}$ એ $f(x) = x^{2}-2$ દ્વારા પોતાની જાત પર મેપ થવો જોઈએ.પેટાકિસ્સો $2.1$: $f(\alpha)=\alpha$ અને $f(\beta)=\beta$. આનાથી $\alpha, \beta \in \{2, -1\}$ મળે છે. $\alpha 
eq \beta$ હોવાથી,$\{\alpha, \beta\} = \{2, -1\}$. તેથી $a = -(\alpha+\beta) = -1$ અને $b = \alpha\beta = -2$. એટલે કે $(a, b) = (-1, -2)$.પેટાકિસ્સો $2.2$: $f(\alpha)=\beta$ અને $f(\beta)=\alpha$. તો $\alpha^{2}-2=\beta$ અને $\beta^{2}-2=\alpha$. બાદબાકી કરતા $\alpha^{2}-\beta^{2} = \beta-\alpha$ મળે,તેથી $(\alpha-\beta)(\alpha+\beta+1)=0$. $\alpha 
eq \beta$ હોવાથી,$\alpha+\beta = -1$. વળી $\alpha^{2}+\beta^{2}-4 = \alpha+\beta = -1$,તેથી $(\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta = 3$,જે $1-2\alpha\beta=3$ આપે છે,તેથી $\alpha\beta=-1$. આમ $a = -(\alpha+\beta) = 1$ અને $b = \alpha\beta = -1$. એટલે કે $(a, b) = (1, -1)$.પેટાકિસ્સો $2.3$: $f(\alpha)=f(\beta)=\alpha$ (અથવા $\beta$). જો $f(\alpha)=f(\beta)=\alpha$ હોય,તો $\alpha^{2}-2=\alpha$ અને $\beta^{2}-2=\alpha$. તેથી $\alpha \in \{2, -1\}$. જો $\alpha=2$,તો $\beta^{2}-2=2$ $\Rightarrow \beta^{2}=4$ $\Rightarrow \beta=-2$ (કારણ કે $\beta 
eq \alpha$). તો $a = -(2-2)=0$ અને $b = 2(-2)=-4$. એટલે કે $(a, b) = (0, -4)$. જો $\alpha=-1$,તો $\beta^{2}-2=-1$ $\Rightarrow \beta^{2}=1$ $\Rightarrow \beta=1$ (કારણ કે $\beta 
eq \alpha$). તો $a = -(-1+1)=0$ અને $b = -1(1)=-1$. એટલે કે $(a, b) = (0, -1)$.આવી $6$ જોડીઓ છે: $(2, 1), (-4, 4), (-1, -2), (1, -1), (0, -4), (0, -1)$.

Similar Questions

સૌથી નાનો પૂર્ણાંક $k$ જે સમીકરણ $x^2 + 5x + k = 0$ ના બીજને કાલ્પનિક બનાવે છે તે

$a$ ની ન્યૂનતમ ધન કિંમત શોધો જેના માટે સમીકરણ $2x^{2} + (a-10)x + \frac{33}{2} = 2a$ ના બીજ વાસ્તવિક હોય.

સમીકરણ $|x|^2 - 5|x| - 24 = 0$ ના બીજનો ગુણાકાર અને સરવાળો અનુક્રમે કેટલા થાય?

સમીકરણ $\sqrt{3x^2+x+5} = x-3$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module