परवलयों के उस परिवार का अवकल समीकरण ज्ञात कीज | vedclass

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Question

(D) मूलबिंदु $(0,0)$ पर नाभि और $X$-अक्ष पर अक्ष वाले परवलयों के परिवार का समीकरण $y^2 = 4a(x+a)$ है,जहाँ $a$ एक स्वेच्छ अचर है।इसका विस्तार करने पर,$

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(D) मूलबिंदु $(0,0)$ पर नाभि और $X$-अक्ष पर अक्ष वाले परवलयों के परिवार का समीकरण $y^2 = 4a(x+a)$ है,जहाँ $a$ एक स्वेच्छ अचर है।इसका विस्तार करने पर,$y^2 = 4ax + 4a^2$ प्राप्त होता है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$2y \frac{dy}{dx} = 4a \Rightarrow a = \frac{y}{2} \frac{dy}{dx}$.$a$ का यह मान मूल समीकरण $y^2 = 4a(x+a)$ में रखने पर:$y^2 = 4 \left( \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} ight) \left( x + \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} ight)$$y^2 = 2y \frac{dy}{dx} \left( x + \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} ight)$$y$ से भाग देने पर ($y 
eq 0$ मानते हुए):$y = 2x \frac{dy}{dx} + y \left( \frac{dy}{dx} ight)^2$$y \left( \frac{dy}{dx} ight)^2 + 2x \frac{dy}{dx} - y = 0$.चूँकि इस समीकरण में केवल प्रथम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ शामिल है,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि $1$ है।

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