बिंदु P(-2 sqrt{6}, sqrt{3}) अतिपरवलय frac{x^ | vedclass

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Question

(C) दिया गया अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है और उत्केंद्रता $e = \frac{\sqrt{5}}{2}$ है।हम जानते हैं कि $b^{2} = a^{2}(e^{2}-1

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$6 \sqrt{3}$

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(C) दिया गया अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है और उत्केंद्रता $e = \frac{\sqrt{5}}{2}$ है।हम जानते हैं कि $b^{2} = a^{2}(e^{2}-1) = a^{2}(\frac{5}{4}-1) = \frac{a^{2}}{4}$,इसलिए $a^{2} = 4b^{2}$ है।चूंकि $P(-2 \sqrt{6}, \sqrt{3})$ अतिपरवलय पर स्थित है,इसलिए $\frac{(-2 \sqrt{6})^{2}}{4b^{2}} - \frac{(\sqrt{3})^{2}}{b^{2}} = 1$.$\frac{24}{4b^{2}} - \frac{3}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{6}{b^{2}} - \frac{3}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{3}{b^{2}} = 1 \Rightarrow b^{2} = 3$,इसलिए $b = \sqrt{3}$ और $a^{2} = 12$,इसलिए $a = 2 \sqrt{3}$ है।अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ है।$P(x_{1}, y_{1})$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{xx_{1}}{a^{2}} - \frac{yy_{1}}{b^{2}} = 1$ है।$\frac{x(-2 \sqrt{6})}{12} - \frac{y(\sqrt{3})}{3} = 1 \Rightarrow -\frac{x \sqrt{6}}{6} - \frac{y}{\sqrt{3}} = 1$.संयुग्मी अक्ष के लिए,$x = 0$ रखने पर: $-\frac{y}{\sqrt{3}} = 1 \Rightarrow y = -\sqrt{3}$। अतः $Q = (0, -\sqrt{3})$ है।स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}} = \frac{3(-2 \sqrt{6})}{12(\sqrt{3})} = \frac{-6 \sqrt{6}}{12 \sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ है।अभिलंब की ढाल $m' = -\frac{1}{m} = \sqrt{2}$ है।$P$ पर अभिलंब का समीकरण $y - \sqrt{3} = \sqrt{2}(x + 2 \sqrt{6})$ है।संयुग्मी अक्ष के लिए,$x = 0$ रखने पर: $y - \sqrt{3} = \sqrt{2}(2 \sqrt{6}) = 2 \sqrt{12} = 4 \sqrt{3}$।$y = 4 \sqrt{3} + \sqrt{3} = 5 \sqrt{3}$। अतः $R = (0, 5 \sqrt{3})$ है।दूरी $QR = |5 \sqrt{3} - (-\sqrt{3})| = |6 \sqrt{3}| = 6 \sqrt{3}$ है।

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