बहुपद समीकरण x^3-3ax^2+(27a^2+9)x+2016=0 के | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = x^3-3ax^2+(27a^2+9)x+2016$ है।वास्तविक मूलों की संख्या निर्धारित करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:$f'(x) = 3x^2 - 6ax + (2

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किसी भी वास्तविक $a$ के लिए ठीक एक वास्तविक मूल है

Vedclass · Answer

(A) माना $f(x) = x^3-3ax^2+(27a^2+9)x+2016$ है।वास्तविक मूलों की संख्या निर्धारित करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:$f'(x) = 3x^2 - 6ax + (27a^2 + 9)$।हम पूर्ण वर्ग बनाकर अवकलज को फिर से लिख सकते हैं:$f'(x) = 3(x^2 - 2ax + 9a^2 + 3)$$f'(x) = 3((x-a)^2 + 8a^2 + 3)$।चूंकि $(x-a)^2 \geq 0$,$8a^2 \geq 0$,और $3 > 0$ है,इसलिए सभी वास्तविक $x$ और सभी वास्तविक $a$ के लिए $f'(x) > 0$ होता है।चूंकि अवकलज $f'(x)$ हमेशा धनात्मक है,फलन $f(x)$ सभी वास्तविक $a$ के लिए निरंतर वर्धमान फलन है।एक निरंतर वर्धमान त्रिघात बहुपद $x$-अक्ष को ठीक एक बार काटता है।इसलिए,समीकरण का किसी भी वास्तविक $a$ के लिए ठीक एक वास्तविक मूल है।

बहुपद समीकरण $x^3-3ax^2+(27a^2+9)x+2016=0$ के

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