એક $AP$ ના $11$ મા પદ અને $18$ મા પદનો ગુણોત્તર $2:3$ છે. $5$ મા પદ અને $21$ મા પદનો ગુણોત્તર શોધો,અને પ્રથમ પાંચ પદોના સરવાળા અને પ્રથમ $21$ પદોના સરવાળાનો ગુણોત્તર પણ શોધો.

(A) ધારો કે $a$ અને $d$ એ $AP$ નું પ્રથમ પદ અને સામાન્ય તફાવત છે.
આપેલ છે કે,$a_{11} : a_{18} = 2 : 3$.
$\Rightarrow \frac{a + 10d}{a + 17d} = \frac{2}{3}$.
$\Rightarrow 3a + 30d = 2a + 34d$.
$\Rightarrow a = 4d$ ....$(i)$.
હવે,$a_5 = a + 4d = 4d + 4d = 8d$.
$a_{21} = a + 20d = 4d + 20d = 24d$.
તેથી,$a_5 : a_{21} = 8d : 24d = 1 : 3$.
હવે,પ્રથમ પાંચ પદોનો સરવાળો,$S_5 = \frac{5}{2}[2a + (5-1)d] = \frac{5}{2}[2(4d) + 4d] = \frac{5}{2}(12d) = 30d$.
અને પ્રથમ $21$ પદોનો સરવાળો,$S_{21} = \frac{21}{2}[2a + (21-1)d] = \frac{21}{2}[2(4d) + 20d] = \frac{21}{2}(28d) = 294d$.
તેથી,પ્રથમ પાંચ પદોના સરવાળા અને પ્રથમ $21$ પદોના સરવાળાનો ગુણોત્તર $S_5 : S_{21} = 30d : 294d = 5 : 49$ છે.