एक $AP$ के $11$ वें पद और $18$ वें पद का अनुपात $2:3$ है। $5$ वें पद और $21$ वें पद का अनुपात ज्ञात कीजिए,और साथ ही प्रथम पाँच पदों के योग और प्रथम $21$ पदों के योग का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
(A) माना $a$ और $d$ एक $AP$ का प्रथम पद और सार्व अंतर हैं।
दिया गया है कि,$a_{11} : a_{18} = 2 : 3$.
$\Rightarrow \frac{a + 10d}{a + 17d} = \frac{2}{3}$.
$\Rightarrow 3a + 30d = 2a + 34d$.
$\Rightarrow a = 4d$ ....$(i)$.
अब,$a_5 = a + 4d = 4d + 4d = 8d$.
$a_{21} = a + 20d = 4d + 20d = 24d$.
अतः,$a_5 : a_{21} = 8d : 24d = 1 : 3$.
अब,प्रथम पाँच पदों का योग,$S_5 = \frac{5}{2}[2a + (5-1)d] = \frac{5}{2}[2(4d) + 4d] = \frac{5}{2}(12d) = 30d$.
और प्रथम $21$ पदों का योग,$S_{21} = \frac{21}{2}[2a + (21-1)d] = \frac{21}{2}[2(4d) + 20d] = \frac{21}{2}(28d) = 294d$.
अतः,प्रथम पाँच पदों के योग और प्रथम $21$ पदों के योग का अनुपात $S_5 : S_{21} = 30d : 294d = 5 : 49$ है।
दिया गया है कि,$a_{11} : a_{18} = 2 : 3$.
$\Rightarrow \frac{a + 10d}{a + 17d} = \frac{2}{3}$.
$\Rightarrow 3a + 30d = 2a + 34d$.
$\Rightarrow a = 4d$ ....$(i)$.
अब,$a_5 = a + 4d = 4d + 4d = 8d$.
$a_{21} = a + 20d = 4d + 20d = 24d$.
अतः,$a_5 : a_{21} = 8d : 24d = 1 : 3$.
अब,प्रथम पाँच पदों का योग,$S_5 = \frac{5}{2}[2a + (5-1)d] = \frac{5}{2}[2(4d) + 4d] = \frac{5}{2}(12d) = 30d$.
और प्रथम $21$ पदों का योग,$S_{21} = \frac{21}{2}[2a + (21-1)d] = \frac{21}{2}[2(4d) + 20d] = \frac{21}{2}(28d) = 294d$.
अतः,प्रथम पाँच पदों के योग और प्रथम $21$ पदों के योग का अनुपात $S_5 : S_{21} = 30d : 294d = 5 : 49$ है।
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एक $AP$ में,यदि $d=5$ और $S_{9}=75$ दिया गया है,तो $a$ और $a_{9}$ ज्ञात कीजिए।
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View Solutionस्तंभ $A$ में दिए गए $APs$ (समांतर श्रेणियों) को स्तंभ $B$ में दिए गए उपयुक्त सार्व अंतर के साथ सुमेलित कीजिए।
स्तंभ $A$ स्तंभ $B$ $(A_{1}) \quad 2, -2, -6, -10, \ldots$ $(B_{1}) \quad \frac{2}{3}$ $(A_{2}) \quad a = -18, n = 10, a_{n} = 0$ $(B_{2}) \quad -5$ $(A_{3}) \quad a = 0, a_{10} = 6$ $(B_{3}) \quad 4$ $(A_{4}) \quad a_{2} = 13, a_{4} = 3$ $(B_{4}) \quad -4$ $(B_{5}) \quad 2$ $(B_{6}) \quad \frac{1}{2}$ $(B_{7}) \quad 5$
| स्तंभ $A$ | स्तंभ $B$ |
| $(A_{1}) \quad 2, -2, -6, -10, \ldots$ | $(B_{1}) \quad \frac{2}{3}$ |
| $(A_{2}) \quad a = -18, n = 10, a_{n} = 0$ | $(B_{2}) \quad -5$ |
| $(A_{3}) \quad a = 0, a_{10} = 6$ | $(B_{3}) \quad 4$ |
| $(A_{4}) \quad a_{2} = 13, a_{4} = 3$ | $(B_{4}) \quad -4$ |
| $(B_{5}) \quad 2$ | |
| $(B_{6}) \quad \frac{1}{2}$ | |
| $(B_{7}) \quad 5$ |
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Difficult
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