frac{dx}{dy} + frac{x}{y} = x^2 का हल ज्ञात क | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y} = x^2$ दोनों पक्षों को $x^2$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy} + \frac{1}{xy} = 1 \do

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$\frac{1}{x} = cy - y \log y$,जहाँ $c$ एक समाकलन स्थिरांक है।

Vedclass · Answer

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y} = x^2$ दोनों पक्षों को $x^2$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy} + \frac{1}{xy} = 1 \dots (i)$ मान लीजिए $\frac{1}{x} = t$. तब $-\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy} = \frac{dt}{dy}$,अतः $\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy} = -\frac{dt}{dy}$. $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $-\frac{dt}{dy} + \frac{t}{y} = 1$,जो सरल होकर $\frac{dt}{dy} - \frac{t}{y} = -1$ हो जाता है। यह $t$ में एक रैखिक अवकल समीकरण है। समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\log y} = \frac{1}{y}$ है। हल $t(I.F.) = \int (-1)(I.F.) dy + c$ है। $t(\frac{1}{y}) = \int -\frac{1}{y} dy + c = -\log y + c$. $t = \frac{1}{x}$ रखने पर: $\frac{1}{xy} = -\log y + c$. अतः,$\frac{1}{x} = cy - y \log y$.

$\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y} = x^2$ का हल ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए कि $y(x)$, $(1+x^{2}) \frac{dy}{dx} + 2xy - 4x^{2} = 0$ और $y(0) = -1$ का एक हल है। तो $y(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मूल बिंदु से गुजरने वाले और अवकल समीकरण $(1 + x^2) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$ को संतुष्ट करने वाले वक्र का समीकरण है

अवकल समीकरण $(x + \log y)dy + y\,dx = 0$ का हल है:

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y \tan x = \sec x$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) . . . . . . है।

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