y' - y = 1, y(0) = -1 का हल y(x) = द्वारा दि | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -1$ और $Q(x) = 1$ है।समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e

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$-1$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -1$ और $Q(x) = 1$ है।समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ द्वारा दिया जाता है।दोनों पक्षों को $IF$ से गुणा करने पर,हमें $e^{-x} \frac{dy}{dx} - e^{-x} y = e^{-x}$ प्राप्त होता है,जिसे $\frac{d}{dx}(y e^{-x}) = e^{-x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$y e^{-x} = \int e^{-x} dx = -e^{-x} + C$ प्राप्त होता है।अतः,$y = -1 + C e^x$ है।प्रारंभिक स्थिति $y(0) = -1$ का उपयोग करते हुए,$x = 0$ और $y = -1$ रखने पर:$-1 = -1 + C e^0 \Rightarrow -1 = -1 + C \Rightarrow C = 0$ प्राप्त होता है।$C = 0$ को सामान्य हल में रखने पर,हमें $y(x) = -1$ प्राप्त होता है।

$y' - y = 1, y(0) = -1$ का हल $y(x) = $ द्वारा दिया गया है।

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अवकल समीकरण $(1 - x^2)\frac{dy}{dx} - xy = 1$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।

यदि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $x^{2} dy + (y - \frac{1}{x}) dx = 0$ ($x > 0$ के लिए) का हल वक्र है और $y(1) = 1$ है,तो $y(\frac{1}{2})$ का मान ज्ञात कीजिए:

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{1+x^2}$ एक . . . . . . अवकल समीकरण है।

$r dx + (x - r^2) dr = 0$ का हल है

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