अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + frac{y}{2} sec x = | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{2} \sec x = \frac{	an x}{2y}$.$2y$ से गुणा करने पर: $2y \frac{dy}{dx} + y^2 \sec x = 	an x$.माना

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$y^2 = 1 - \frac{x}{\sec x + 	an x}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{2} \sec x = \frac{	an x}{2y}$.$2y$ से गुणा करने पर: $2y \frac{dy}{dx} + y^2 \sec x = 	an x$.माना $y^2 = t$,तब $2y \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$.समीकरण इस प्रकार होगा: $\frac{dt}{dx} + t \sec x = 	an x$.यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \sec x$ और $Q = 	an x$.समाकलन गुणक $IF = e^{\int \sec x dx} = e^{\ln(\sec x + 	an x)} = \sec x + 	an x$.हल: $t(IF) = \int Q(IF) dx + C$.$t(\sec x + 	an x) = \int 	an x(\sec x + 	an x) dx + C$.$t(\sec x + 	an x) = \int (\sec x 	an x + \sec^2 x - 1) dx + C$.$t(\sec x + 	an x) = \sec x + 	an x - x + C$.$y(0) = 1$ होने पर,$t(0) = 1$. $x=0$ रखने पर,$C = 0$ प्राप्त होता है।अतः,$t(\sec x + 	an x) = \sec x + 	an x - x$.$t = 1 - \frac{x}{\sec x + 	an x}$.चूंकि $t = y^2$,इसलिए $y^2 = 1 - \frac{x}{\sec x + 	an x}$.

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{2} \sec x = \frac{\tan x}{2y}$,जहाँ $0 \le x < \frac{\pi}{2}$,और $y(0) = 1$ है,का हल ज्ञात कीजिए।

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