अवकल समीकरण $y dx - x dy + 3x^2 y^2 e^{x^3} dx = 0$ का हल, जो $x = 1$ होने पर $y = 1$ को संतुष्ट करता है, ज्ञात कीजिए:

स्तंभ $I$ में दिए गए कथनों/व्यंजकों को स्तंभ $II$ में दिए गए मानों के साथ सुमेलित कीजिए।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ अंतराल $(0, \frac{\pi}{2})$ में समीकरण $x e^{\sin x}-\cos x=0$ के हलों की संख्या	$(p)$ $1$
$(B)$ $k$ के मान जिनके लिए समतल $k x+4 y+z=0, 4 x+k y+2 z=0$ और $2 x+2 y+z=0$ एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं	$(q)$ $2$
$(C)$ $k$ के मान जिनके लिए $|x-1|+|x-2|+|x+1|+|x+2|=4 k$ के पूर्णांक हल हैं	$(r)$ $3$
$(D)$ यदि $y^{\prime}=y+1$ और $y(0)=1$ है,तो $y(\ln 2)$ का मान	$(s)$ $4$
	$(t)$ $5$

उन सभी वृत्तों के परिवार पर विचार करें जिनके केंद्र सीधी रेखा $y = x$ पर स्थित हैं। यदि वृत्तों के इस परिवार को अवकल समीकरण $P y^{\prime \prime} + Q y^{\prime} + 1 = 0$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $P, Q$ $x, y$ और $y^{\prime}$ के फलन हैं (यहाँ $y^{\prime} = \frac{dy}{dx}, y^{\prime \prime} = \frac{d^2y}{dx^2}$),तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$(A) P = y + x$
$(B) P = y - x$
$(C) P + Q = 1 - x + y + y^{\prime} + (y^{\prime})^2$
$(D) P - Q = x + y - y^{\prime} - (y^{\prime})^2$

वक्र $y=y(x)$ पर किसी भी बिंदु $(x, y), x > 0, y > 0$ पर अभिलंब की ढाल $\frac{x^{2}}{x y-x^{2} y^{2}-1}$ द्वारा दी गई है। यदि वक्र बिंदु $(1, 1)$ से होकर गुजरता है,तो $e \cdot y(e)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि वक्र $y = y(x)$ जो अवकल समीकरण $(2xy^2 - y)dx + xdy = 0$ के हल द्वारा निरूपित है,रेखाओं $2x - 3y = 1$ और $3x + 2y = 8$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरता है,तो $|y(1)|$ का मान ...... है।

$(0, \pi)$ में एक सतत अवकलनीय फलन $\phi (x)$ जो $y' = 1 + y^2$ और $y(0) = 0 = y(\pi)$ को संतुष्ट करता है,वह है