વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{1 + x^2}{x} = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{2+\sin x}{y+1} \cdot \frac{dy}{dx} = -\cos x$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y > 0$ અને $y(0) = 1$ છે. જો $y(\pi) = a$ અને $x = \pi$ આગળ $\frac{dy}{dx}$ ની કિંમત $b$ હોય,તો ક્રમયુક્ત જોડ $(a, b)$ શું થાય?

સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = (x + y)^2$ નો ઉકેલ શોધો.

$\frac{dy}{dx} = x + \sin x \cos y + x \cos y + \sin x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

જો એક વક્ર બિંદુ $\left( 2, \frac{7}{2} \right)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેના પરના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ તેનો ઢાળ $\left( 1 - \frac{1}{x^2} \right)$ હોય,તો વક્ર પરના જે બિંદુનો યામ (abscissa) $-2$ હોય,તેનો કોટિ (ordinate) શોધો.

ધારો કે $f(x)$ એક વાસ્તવિક વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(0)=1$ અને તમામ $x, y \in \mathbb{R}$ માટે $f(x+y)=f(x)f'(y)+f'(x)f(y)$ થાય છે. તો $\sum_{n=1}^{100} \log_{e} f(n)$ ની કિંમત શોધો.