अवकल समीकरण $x\frac{dy}{dx} + y = x^2 + 3x + 2$ का हल है

मान लीजिए कि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+2y \sec^2 x = 2 \sec^2 x + 3 \tan x \cdot \sec^2 x$ का हल है,जहाँ $y(0)=\frac{5}{4}$ है। तो $12\left(y\left(\frac{\pi}{4}\right)-e^{-2}\right)$ का मान . . . . . . है।

यदि $y(x)$ अवकल समीकरण $y^{\prime}-y \tan x=2 x \sec x$ और $y(0)=0$ को संतुष्ट करता है, तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$(A)$ $y(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi^2}{8\sqrt{2}}$
$(B)$ $y(\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi^2}{9}$
$(C)$ $y'(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi^2}{8\sqrt{2}} + \frac{\pi}{\sqrt{2}}$
$(D)$ $y'(\frac{\pi}{3}) = \frac{4\pi}{3} + \frac{2\pi^2\sqrt{3}}{9}$

माना अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+\frac{xy}{x^{2}-1}=\frac{x^{4}+2x}{\sqrt{1-x^{2}}}, x \in(-1,1)$ का हल वक्र $y=f(x)$ मूल बिंदु से होकर गुजरता है। तो $\int_{-\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y \cot x = 4x \csc x$ $(x \neq 0)$ का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए,दिया गया है कि $x=\frac{\pi}{2}$ पर $y=0$ है।

मान लीजिए कि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $(x^2+1) y^{\prime}-2 x y=(x^4+2 x^2+1) \cos x$ का हल है,जहाँ $y(0)=1$ है। तो $\int_{-3}^3 y(x) d x$ का मान ज्ञात कीजिए: