${ }^5 C_{x-1} > 2 \cdot { }^5 C_x$ નો ઉકેલ ગણ શું છે?

$5$ છોકરાઓ અને $7$ છોકરીઓના જૂથનો વિચાર કરો. જો બે ચોક્કસ છોકરીઓ $A$ અને $B$ હોય,જેઓ એક જ ટીમમાં સભ્ય બનવાનો ઇનકાર કરે છે,તો આ જૂથમાંથી $2$ છોકરાઓ અને $3$ છોકરીઓની બનેલી કેટલી અલગ-અલગ ટીમો બનાવી શકાય?

$7$ સમાન સફેદ દડા અને $3$ સમાન કાળા દડા છે. બધા દડાઓને એક હારમાં એવી રીતે ગોઠવવાની સંખ્યા શોધો કે જેથી કોઈ પણ બે કાળા દડા પાસપાસે ન હોય.

$6$ છોકરાઓ અને $4$ છોકરીઓમાંથી $7$ સભ્યોની સમિતિ એવી રીતે બનાવવાની છે કે જેમાં છોકરાઓની સંખ્યા છોકરીઓની સંખ્યા કરતા વધારે હોય. આ કામ કેટલી રીતે કરી શકાય?

એક વિદ્યાર્થીને $(2n+1)$ પુસ્તકોના સંગ્રહમાંથી વધુમાં વધુ $n$ પુસ્તકો પસંદ કરવાની છૂટ છે. જો ઓછામાં ઓછું એક પુસ્તક પસંદ કરવાની કુલ રીતોની સંખ્યા $255$ હોય,તો $n$ નું મૂલ્ય શોધો.

$n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો જેના માટે ${ }^{(n-1)} C_2 + { }^{(n-1)} C_3 > { }^n C_2$ થાય.