बहुपद समीकरण x^3+3x^2+3x+3=0 के अवास्तविक मूल | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण $x^3+3x^2+3x+3=0$ है।मान लीजिए $f(x) = x^3+3x^2+3x+3$ है।तब $f'(x) = 3x^2+6x+3 = 3(x+1)^2$ है।चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए

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$-1$ और $0$ के बीच स्थित है

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(C) दिया गया समीकरण $x^3+3x^2+3x+3=0$ है।मान लीजिए $f(x) = x^3+3x^2+3x+3$ है।तब $f'(x) = 3x^2+6x+3 = 3(x+1)^2$ है।चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) \geq 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ एकदिष्ट वर्धमान फलन है।अतः,समीकरण $f(x)=0$ का केवल एक वास्तविक मूल $\alpha$ है।चूंकि $f(-3) = -27+27-9+3 = -6  0$ है,इसलिए वास्तविक मूल $\alpha$ अंतराल $(-3, -2)$ में स्थित है।मान लीजिए कि त्रिघात समीकरण के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं,जहाँ $\beta$ और $\gamma$ अवास्तविक सम्मिश्र संयुग्मी मूल हैं।विएटा के सूत्रों से,मूलों का योग $\alpha + \beta + \gamma = -3$ है।इसलिए,$\beta + \gamma = -3 - \alpha$ है।चूंकि $-3 सभी भागों में $-3$ जोड़ने पर: $2-3 अतः,अवास्तविक मूलों का योग $-1$ और $0$ के बीच स्थित है।

बहुपद समीकरण $x^3+3x^2+3x+3=0$ के अवास्तविक मूलों का योग है

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