अनंत श्रेणी 1+frac{1}{3}+frac{1 cdot 3}{3 cdo | vedclass

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Question

(B) दी गई श्रेणी $S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 6} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3 \cdot 6 \cdot 9} + \dots$ है।यह $(1-x)^{-n} = 1 + nx

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$\sqrt{3}$

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(B) दी गई श्रेणी $S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 6} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3 \cdot 6 \cdot 9} + \dots$ है।यह $(1-x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \dots$ के रूप में एक द्विपद श्रेणी है।हम पदों को $1 + \frac{1}{2}(\frac{2}{3}) + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+1)}{2!}(\frac{2}{3})^2 + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+1)(\frac{1}{2}+2)}{3!}(\frac{2}{3})^3 + \dots$ के रूप में लिख सकते हैं।द्विपद विस्तार $(1-x)^{-n}$ के साथ तुलना करने पर, हमें $n = \frac{1}{2}$ और $x = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।अतः, योग $(1 - \frac{2}{3})^{-1/2} = (\frac{1}{3})^{-1/2} = 3^{1/2} = \sqrt{3}$ है।

अनंत श्रेणी $1+\frac{1}{3}+\frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 6}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3 \cdot 6 \cdot 9}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{3 \cdot 6 \cdot 9 \cdot 12}+\ldots$ का योग किसके बराबर है?

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$1+\frac{2}{4}+\frac{2 \cdot 5}{4 \cdot 8}+\frac{2 \cdot 5 \cdot 8}{4 \cdot 8 \cdot 12}+\frac{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 11}{4 \cdot 8 \cdot 12 \cdot 16}+\ldots \ldots$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\frac{(1 + 3x)^2}{1 - 2x}$ के विस्तार में $x^3$ का गुणांक क्या होगा?

$(1-4x)^{-4}$ के विस्तार में $13$ वाँ पद है

$(1-\frac{3}{4} x)^{\frac{1}{2}}$ के विस्तार में $x^3$ का गुणांक है

श्रेणी $\frac{3}{4 \cdot 8} - \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8 \cdot 12} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12 \cdot 16} - \dots$ का योग ज्ञात कीजिए।

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