श्रेणी 1 cdot 2 cdot 3 + 2 cdot 3 cdot 4 + 3 | vedclass

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Question

(C) श्रेणी का $n$ वां पद $T_n = n(n + 1)(n + 2)$ है।इसका विस्तार करने पर,$T_n = n(n^2 + 3n + 2) = n^3 + 3n^2 + 2n$ प्राप्त होता है।$n$ पदों का योग $S_

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$\frac{1}{4}n(n + 1)(n + 2)(n + 3)$

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(C) श्रेणी का $n$ वां पद $T_n = n(n + 1)(n + 2)$ है।इसका विस्तार करने पर,$T_n = n(n^2 + 3n + 2) = n^3 + 3n^2 + 2n$ प्राप्त होता है।$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} (k^3 + 3k^2 + 2k)$ है।मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:$\sum k^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2$,$\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,और $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$.$S_n = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 + 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$.$S_n = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + n(n+1)$.$\frac{n(n+1)}{4}$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:$S_n = \frac{n(n+1)}{4} [n(n+1) + 2(2n+1) + 4]$.$S_n = \frac{n(n+1)}{4} [n^2 + n + 4n + 2 + 4] = \frac{n(n+1)}{4} [n^2 + 5n + 6]$.चूंकि $n^2 + 5n + 6 = (n+2)(n+3)$,इसलिए $S_n = \frac{1}{4}n(n + 1)(n + 2)(n + 3)$ प्राप्त होता है।

श्रेणी $1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + \dots$ के $n$ पदों का योग क्या है?

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यदि एक घड़ी प्रत्येक घंटे पर उतनी ही बार बजती है जितने बजे होते हैं,तो वह एक दिन में कुल कितनी बार बजेगी?

$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\frac{k}{{{2^{n + k}}}}} } $ का मान ज्ञात कीजिए।

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