$A.P.$ માં ત્રણ સંખ્યાઓનો સરવાળો $21$ છે. પ્રથમ અને ત્રીજી સંખ્યાનો ગુણાકાર બીજી સંખ્યા કરતા $6$ જેટલો વધારે છે. તે સંખ્યાઓ શોધો.

(A) ધારો કે $A.P.$ માં ત્રણ સંખ્યાઓ $(a - d)$,$a$,અને $(a + d)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ સંખ્યાઓનો સરવાળો $21$ છે:
$(a - d) + a + (a + d) = 21$
$3a = 21$
$a = 7$
હવે,પ્રથમ અને ત્રીજી સંખ્યાનો ગુણાકાર બીજી સંખ્યા કરતા $6$ જેટલો વધારે છે:
$(a - d)(a + d) = a + 6$
$a^2 - d^2 = a + 6$
સમીકરણમાં $a = 7$ મૂકતા:
$7^2 - d^2 = 7 + 6$
$49 - d^2 = 13$
$d^2 = 36$
$d = \pm 6$
કિસ્સો $1$: જો $d = 6$ હોય,તો સંખ્યાઓ $(7 - 6), 7, (7 + 6)$ એટલે કે $1, 7, 13$ મળે.
કિસ્સો $2$: જો $d = -6$ હોય,તો સંખ્યાઓ $(7 - (-6)), 7, (7 + (-6))$ એટલે કે $13, 7, 1$ મળે.
આમ,તે સંખ્યાઓ $1, 7, 13$ અથવા $13, 7, 1$ છે.