परवलय $y^2=4ax$ पर एक बिंदु $P$ पर स्पर्शरेखा $PT$ और अभिलंब $PN$ इसके अक्ष को क्रमशः $T$ और $N$ बिंदुओं पर मिलते हैं। त्रिभुज $PTN$ के केंद्रक का बिंदुपथ एक परवलय है जिसका/जिसकी:

माना परवलय $y^2=16x$ की नाभीय जीवा $PQ$ का बिंदु $P$ $(1, -4)$ है। यदि परवलय की नाभि जीवा $PQ$ को $m:n$ के अनुपात में विभाजित करती है,जहाँ $\operatorname{gcd}(m, n)=1$,तो $m^2+n^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि दो वृत्त $x^2+y^2-6x-6y+13=0$ और $x^2+y^2-8y+9=0$ बिंदु $A$ और $B$ पर प्रतिच्छेद करते हैं,तो उस परवलय की नाभि ज्ञात कीजिए जिसकी नियता रेखा $AB$ है और शीर्ष बिंदु $O(0,0)$ है।

उस परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है: नाभि $(6, 0)$,नियता $x = -6$.

मान लीजिए कि समीकरण $f(x) = x^{2} + bx + c = 0$ के दो भिन्न वास्तविक मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। बिंदु $\left(\frac{\alpha + \beta}{2}, f\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\right)$ पर वक्र $y = f(x)$ की स्पर्श रेखा और $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा के बीच का कोण है ($^{\circ}$ में)

परवलय $y^2 = 4x$ के उस अभिलंब का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $y = 3x + 4$ के समांतर है।