ગણ $\{0, 1, 2, 3\}$ માંથી ઘટકો ધરાવતા $3 \times 3$ શ્રેણિકો $A$ ની કુલ સંખ્યા શોધો,જેથી $AA^{T}$ ના તમામ વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $9$ થાય.

ધારો કે $A=\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $P=\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}, \theta > 0$. જો $B=P A P^T$,$C=P^T B^{10} P$ હોય અને $C$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $\frac{m}{n}$ હોય,જ્યાં $\operatorname{gcd}(m, n)=1$,તો $m+n$ શોધો:

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & \alpha \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ \beta & 2 \end{bmatrix}$. જો $A^2 - 4A + I = O$ અને $B^2 - 5B - 6I = O$ હોય, તો નીચેના બે વિધાનો પૈકી:
(S1): $[(B - A)(B + A)]^T = \begin{bmatrix} 13 & 15 \\ 7 & 10 \end{bmatrix}$
અને
(S2): $\det(\text{adj}(A + B)) = -5$.

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{\cos (\beta - \alpha )}&{\cos (\gamma - \alpha )}\\{\cos (\alpha - \beta )}&1&{\cos (\gamma - \beta )}\\{\cos (\alpha - \gamma )}&{\cos (\beta - \gamma )}&1\end{array}} \right|$ નું મૂલ્ય શું છે?

ધારો કે શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ \alpha^{2} & \beta^{2} & \gamma^{2} \\ \beta+\gamma & \gamma+\alpha & \alpha+\beta \end{bmatrix}$,જ્યાં $\alpha, \beta, \gamma$ ત્રણ ભિન્ન પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે. જો $\frac{\operatorname{det}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A))))}{(\alpha-\beta)^{16}(\beta-\gamma)^{16}(\gamma-\alpha)^{16}}=2^{32} \times 3^{16}$ હોય,તો આવી $3$-ટપલ્સ $(\alpha, \beta, \gamma)$ ની સંખ્યા $.....$ છે.

ધારો કે $\theta = \frac{\pi}{5}$ અને $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$. જો $B = A + A^4$ હોય,તો $\det(B)$