$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{[r]+[2r]+\ldots+[nr]}{n^{2}}$ का मान,जहाँ $r$ एक शून्येतर वास्तविक संख्या है और $[x]$ का अर्थ $x$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक है,किसके बराबर है?

मान लीजिए कि $f: R \rightarrow (0, \infty)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है,इस प्रकार कि $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(7 x)}{f(x)}=1$ है। तब,$\lim _{x \rightarrow \infty} \left[\frac{f(5 x)}{f(x)}-1\right]$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए $[x]$ किसी वास्तविक संख्या $x$ के लिए $x$ से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक दर्शाता है। तो, $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{[n \sqrt{2}]}{n}$ का मान क्या होगा?

माना $f: R^{+} \rightarrow R$ एक वर्धमान फलन है,इस प्रकार कि सभी $x$ के लिए $f(x) > 0$ है। यदि $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(9 x)}{f(3 x)}=1$ है,तो $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(6 x)}{f(3 x)}=$

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{[2x - 3]}{x} = $

$\operatorname{Lim}_{n}$ ${\rightarrow \infty} \left\{ \left(2^{\frac{1}{2}}-2^{\frac{1}{3}}\right) \left(2^{\frac{1}{2}}-2^{\frac{1}{5}}\right) \dots \left(2^{\frac{1}{2}}-2^{\frac{1}{2n+1}}\right) \right\}$ का मान ज्ञात कीजिए।