$k \in N$ ની કઈ કિંમત માટે સંકલન $I_n = \int_0^1 (1 - x^k)^n dx, n \in N$,એ $147 I_{20} = 148 I_{21}$ નું સમાધાન કરે છે?

$\int_0^{\pi /2} {\left( {\frac{\theta }{{\sin \theta }}} \right)^2 d\theta = } $

$\int \frac{dx}{x^2(x^4 + 1)^{3/4}} = $

ધારો કે એક વિધેય $h(x)$ એ $x \ne 0$ માટે $h(x) = 0$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. વળી, દરેક વિધેય $f(x)$ માટે $\int_{-\infty}^{\infty} h(x) \cdot f(x) \, dx = f(0)$ છે. તો નિશ્ચિત સંકલન $\int_{-\infty}^{\infty} h'(x) \cdot \sin x \, dx$ નું મૂલ્ય શું છે?

જો $\int \frac{\sin ^{\frac{3}{2}} x+\cos ^{\frac{3}{2}} x}{\sqrt{\sin ^3 x \cos ^3 x \sin (x-\theta)}} d x=A \sqrt{\cos \theta \tan x-\sin \theta}+B \sqrt{\cos \theta-\cot x \sin \theta}+C,$ જ્યાં $C$ એ સંકલન અચળાંક છે,તો $AB$ ની કિંમત શોધો.

જો $\int \sin ^{-1}\left(\sqrt{\frac{x}{1+x}}\right) d x=A(x) \tan ^{-1}(\sqrt{x})+B(x)+C$ હોય,જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે,તો ક્રમયુક્ત જોડ $(A(x), B(x))$ શું હોઈ શકે?