I = int_{pi / 2}^{5 pi / 2} frac{e^{tan^{-1}( | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{\pi / 2}^{5 \pi / 2} \frac{e^{	an^{-1}(\sin x)}}{e^{	an^{-1}(\sin x)} + e^{	an^{-1}(\cos x)}} dx$ है। गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x

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$\pi$

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(B) माना $I = \int_{\pi / 2}^{5 \pi / 2} \frac{e^{	an^{-1}(\sin x)}}{e^{	an^{-1}(\sin x)} + e^{	an^{-1}(\cos x)}} dx$ है। गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए, यहाँ $f(x)$ एक $\frac{\pi}{2}$ आवर्तकाल वाला फलन है। समाकलन की सीमा $\frac{\pi}{2}$ से $\frac{5\pi}{2}$ तक है, जिसकी लंबाई $2\pi$ है। $I = \int_{0}^{2\pi} f(x) dx = 4 \int_{0}^{\pi/2} f(x) dx$ होगा। माना $J = \int_{0}^{\pi/2} \frac{e^{	an^{-1}(\sin x)}}{e^{	an^{-1}(\sin x)} + e^{	an^{-1}(\cos x)}} dx$ है। $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर, $J = \int_{0}^{\pi/2} \frac{e^{	an^{-1}(\cos x)}}{e^{	an^{-1}(\cos x)} + e^{	an^{-1}(\sin x)}} dx$ प्राप्त होता है। दोनों को जोड़ने पर, $2J = \int_{0}^{\pi/2} 1 dx = \frac{\pi}{2}$, जिससे $J = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है। अतः, $I = 4 	imes \frac{\pi}{4} = \pi$।

$I = \int_{\pi / 2}^{5 \pi / 2} \frac{e^{\tan^{-1}(\sin x)}}{e^{\tan^{-1}(\sin x)} + e^{\tan^{-1}(\cos x)}} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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