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Question

(A) माना कि दिया गया सीमा $L = \mathop {	ext{Limit}}\limits_{x 	o \infty } \frac{{\cot ^{ - 1}}\left( \frac{\log _a x}{x^a} ight)}{{\sec ^{ - 1}}\

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$1$

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(A) माना कि दिया गया सीमा $L = \mathop {	ext{Limit}}\limits_{x 	o \infty } \frac{{\cot ^{ - 1}}\left( \frac{\log _a x}{x^a} ight)}{{\sec ^{ - 1}}\left( \frac{a^x}{\log _a x} ight)}$ है।जैसे $x 	o \infty$,$\frac{\log _a x}{x^a} 	o 0$ होता है क्योंकि $a > 1$ के लिए घातांकीय वृद्धि लघुगणकीय वृद्धि से अधिक होती है।अतः,अंश $\cot ^{ - 1}(0) = \pi / 2$ की ओर अग्रसर होता है।जैसे $x 	o \infty$,$\frac{a^x}{\log _a x} 	o \infty$ होता है।अतः,हर $\sec ^{ - 1}(\infty) = \pi / 2$ की ओर अग्रसर होता है।इसलिए,$L = \frac{\pi / 2}{\pi / 2} = 1$.

$a > 1$ के लिए $\mathop {\text{Limit}}\limits_{x \to \infty } \frac{{\cot ^{ - 1}}\left( {{x^{ - a}}\log _a x} \right)}{{\sec ^{ - 1}}\left( {{a^x}\log _x a} \right)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1 - 10^n}{1 + 10^{n+1}} = \frac{-\alpha}{10}$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

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