सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} 1 & a & b + c \\ 1 & b & c + a \\ 1 & c & a + b \end{array} \right|$ का मान क्या है?

$3$ कोटि के विषम-सममित आव्यूह (skew-symmetric matrix) का सारणिक हमेशा होता है:

सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{ccc}a^{2}+1 & a b & a c \\ a b & b^{2}+1 & b c \\ c a & c b & c^{2}+1\end{array}\right|=1+a^{2}+b^{2}+c^{2}$

$2\,\,\left| {\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ {a^2 - bc} & {b^2 - ac} & {c^2 - ab} \end{array}} \right| = $

यदि ${I_1} = \int\limits_1^{\sin \theta } {\frac{x}{{1 + x^2}}} \,dx$ और ${I_2} = \int\limits_1^{\csc \theta } {\frac{{dx}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}}}$; तो $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{I_1}}&{I_1^2}&{{I_2}} \\ {{e^{{I_1} + {I_2}}}}&{I_2^2}&{ - 1} \\ 1&{I_1^2 + I_2^2}&{ - 1} \end{array}} \right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

सारणिकों के गुणों का उपयोग करके और विस्तार किए बिना सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 65 \\ 3 & 8 & 75 \\ 5 & 9 & 86\end{array}\right|=0$