સંકલન int limits_{1 / 2}^2 frac{tan ^{-1} x}{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I = \int \limits_{1 / 2}^2 \frac{	an ^{-1} x}{x} dx$ ... $(i)$ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(\frac{ab}{x}) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,$x

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{2} \log _{ e } 2$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I = \int \limits_{1 / 2}^2 \frac{	an ^{-1} x}{x} dx$ ... $(i)$ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(\frac{ab}{x}) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{1}{t}$ લેતા,$dx = -\frac{1}{t^2} dt$ મળે.જ્યારે $x = 1/2, t = 2$ અને જ્યારે $x = 2, t = 1/2$.$I = \int \limits_2^{1 / 2} \frac{	an ^{-1}(1/t)}{1/t} \cdot (-\frac{1}{t^2}) dt = \int \limits_{1 / 2}^2 \frac{	an ^{-1}(1/t)}{t} dt$.કારણ કે $t > 0$ માટે $	an^{-1}(1/t) = \cot^{-1} t$,તેથી $I = \int \limits_{1 / 2}^2 \frac{\cot ^{-1} t}{t} dt = \int \limits_{1 / 2}^2 \frac{\cot ^{-1} x}{x} dx$ ... (ii)$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:$2I = \int \limits_{1 / 2}^2 \frac{	an ^{-1} x + \cot ^{-1} x}{x} dx = \int \limits_{1 / 2}^2 \frac{\pi / 2}{x} dx$.$2I = \frac{\pi}{2} [\ln x]_{1/2}^2 = \frac{\pi}{2} (\ln 2 - \ln(1/2)) = \frac{\pi}{2} (\ln 2 - (-\ln 2)) = \frac{\pi}{2} (2 \ln 2) = \pi \ln 2$.તેથી,$I = \frac{\pi}{2} \ln 2$.

સંકલન $\int \limits_{1 / 2}^2 \frac{\tan ^{-1} x}{x} d x$ નું મૂલ્ય શોધો.

Similar Questions

જો $P = \int_0^{3\pi} f(\cos^2 x) dx$ અને $Q = \int_0^{\pi} f(\cos^2 x) dx$ હોય,તો:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(e^{\sin x}-e^{\cos x}\right) d x=$

$\int_{-4}^{4} (2^x + 2^{-x})(3^x + 3^{-x}) \, dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{0}^{1} x(1 - x)^{5} dx = . . . . . .$

$\int_{0}^{\pi / 2} \log (\operatorname{cosec} x) d x$ નું મૂલ્ય શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module