$c$ ની કઈ કિંમતો માટે રેખા $y=4x+c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$ ને સ્પર્શે છે?

ધારો કે $P$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ પરનું એક બિંદુ છે. ધારો કે $P$ માંથી પસાર થતી અને $y$-અક્ષને સમાંતર રેખા વર્તુળ $x^2+y^2=9$ ને બિંદુ $Q$ માં મળે છે,જેથી $P$ અને $Q$ એ $x$-અક્ષની એક જ બાજુએ હોય. તો,જેમ $P$ ઉપવલય પર ગતિ કરે તેમ $PQ$ પરના બિંદુ $R$ ના બિંદુપથની ઉત્કેન્દ્રિયતા,જ્યાં $PR:RQ=4:3$ છે,તે શોધો:

જો $C$ એ ઉપવલય $9x^2 + 16y^2 = 144$ નું કેન્દ્ર હોય અને $S$ એ એક નાભિ હોય,તો $CS$ અને પ્રધાન અક્ષનો ગુણોત્તર કેટલો થાય?

ધારો કે $A, A^{\prime}$ એ ઉપવલય $E$ ની મુખ્ય અક્ષના અંત્યબિંદુઓ છે,$S, S^{\prime}$ એ નાભિઓ છે અને $B, B^{\prime}$ એ ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુઓ છે. જો $\angle BAB^{\prime}=60^{\circ}$ હોય,તો $\angle SBS^{\prime}$ શોધો.

ઉપવલય $4x^2 + 9y^2 - 8x - 36y + 4 = 0$ ના નાભિલંબની લંબાઈ કેટલી છે?

આપેલ શરતો સંતોષતા ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો: શિરોબિંદુઓ $(0, \pm 13)$,નાભિઓ $(0, \pm 5)$.