तीन रेखाएँ overrightarrow{r} = lambda hat{i}, | vedclass

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Question

(A) रेखाएँ $\overrightarrow{r} = \lambda \hat{i}$,$\overrightarrow{r} = \mu(\hat{i} + \hat{j})$,और $\overrightarrow{r} = v(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}

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$0.75$

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(A) रेखाएँ $\overrightarrow{r} = \lambda \hat{i}$,$\overrightarrow{r} = \mu(\hat{i} + \hat{j})$,और $\overrightarrow{r} = v(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ द्वारा दी गई हैं।इन्हें समतल समीकरण $x + y + z = 1$ में प्रतिस्थापित करने पर:रेखा $A$ के लिए: $\lambda + 0 + 0 = 1 \Rightarrow \lambda = 1$,अतः $A = (1, 0, 0)$.रेखा $B$ के लिए: $\mu + \mu + 0 = 1 \Rightarrow 2\mu = 1 \Rightarrow \mu = 1/2$,अतः $B = (1/2, 1/2, 0)$.रेखा $C$ के लिए: $v + v + v = 1 \Rightarrow 3v = 1 \Rightarrow v = 1/3$,अतः $C = (1/3, 1/3, 1/3)$.सदिश $\overrightarrow{AB} = B - A = (-1/2, 1/2, 0)$ और $\overrightarrow{AC} = C - A = (-2/3, 1/3, 1/3)$ हैं।क्रॉस प्रोडक्ट $\overrightarrow{AB} 	imes \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ -1/2 & 1/2 & 0 \ -2/3 & 1/3 & 1/3 \end{vmatrix} = \hat{i}(1/6) - \hat{j}(-1/6) + \hat{k}(-1/6 + 1/3) = (1/6, 1/6, 1/6)$.क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} 	imes \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{(1/6)^2 + (1/6)^2 + (1/6)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{3/36} = \frac{\sqrt{3}}{12}$.अतः $(6 \Delta)^2 = (6 	imes \frac{\sqrt{3}}{12})^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 3/4 = 0.75$.

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