ત્રણ સદિશો $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ એ $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ નું પાલન કરે છે. જો $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=4, |\vec{c}|=2$ હોય, તો $\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}+2(|\vec{a}|+|\vec{b}|+|\vec{c}|)=$

ધારો કે $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જ્યાં $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b}$,$|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = 2$ અને $|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \sqrt{2} |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|$,જ્યાં $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} > 0$ છે. તો આ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) શોધો:

જેના માટે સદિશો $\bar{a} = 2x^2 \hat{i} + 4x \hat{j} + \hat{k}$ અને $\bar{b} = 7 \hat{i} - 2 \hat{j} + x \hat{k}$ વચ્ચેનો ખૂણો ગુરુકોણ હોય તેવી $x$ ની કિંમતો શોધો.

બિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}$ અને $a\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ છે. જો આ બિંદુઓ $\angle C = \pi/2$ સાથે કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે,તો $a$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $a, b, c$ અસમતલીય સદિશો હોય,તો બિંદુઓ $2a+3b-c$ અને $3a+4b-2c$ માંથી પસાર થતી રેખા અને બિંદુઓ $a-2b+3c$ અને $a-6b+6c$ ને જોડતી રેખાનું છેદબિંદુ શોધો.

જો $\vec{l}, \vec{m}, \vec{n}$ સમતલીય સદિશો હોય,તો $\lambda$ ના કયા મૂલ્ય માટે $\vec{l} - 2\vec{m} + 3\vec{n}$,$2\vec{l} + \lambda\vec{m} - 4\vec{n}$ અને $-7\vec{m} + 10\vec{n}$ સ્થાન સદિશો ધરાવતા બિંદુઓ સમરેખ થાય?