अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n$ को रैखिक रूप में बदलने के लिए,प्रतिस्थापन क्या है?

एक अवकलनीय फलन $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ के लिए,मान लीजिए $f^{\prime}(x)=3 f(x)+\alpha$,जहाँ $\alpha \in \mathbb{R}, f(0)=1$ और $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=7$ है। तो $9 f\left(-\log _{e} 3\right)$ का मान ............ है।

माना $y=y(x)$ अवकल समीकरण $x\frac{dy}{dx}-\sin(2y)=x^{3}(2-x^{3})\cos^{2}y,$ $(x\ne0)$ का हल है। यदि $y(2)=0$ है, तो $\tan(y(1))$ का मान ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) . . . . . . है।

$x \frac{dy}{dx} - y = x^4 - 3x$ का समाकलन गुणक (Integrating factor) है

यदि $\cos x$ और $\sin x$ अवकल समीकरण $a_{0} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+a_{1} \frac{d y}{d x}+a_{2} y=0$ के हल हैं, जहाँ $a_{0}, a_{1}$ और $a_{2}$ वास्तविक स्थिरांक हैं, तो निम्नलिखित में से कौन सा/से हमेशा सत्य है/हैं?