બે સમકેન્દ્રી વર્તુળો એવા છે કે નાનું વર્તુળ મોટા વર્તુળને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ભાગમાં વિભાજિત કરે છે. જો નાના વર્તુળની ત્રિજ્યા $2$ હોય,તો મોટા વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ થી નાના વર્તુળ પર દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ કેટલી થાય?

ધારો કે $M = \{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : x^2 + y^2 \leq r^2\}$,જ્યાં $r > 0$. ભૌમિતિક શ્રેણી $a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$,$n = 1, 2, 3, \ldots$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $S_0 = 0$ અને,$n \geq 1$ માટે,$S_n$ એ આ શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો દર્શાવે છે. $n \geq 1$ માટે,$C_n$ એ $(S_{n-1}, 0)$ કેન્દ્ર અને $a_n$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે,અને $D_n$ એ $(S_{n-1}, S_{n-1})$ કેન્દ્ર અને $a_n$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.
$(1)$ $r = \frac{1025}{513}$ સાથે $M$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $k$ એ $M$ ની અંદર આવેલા તમામ વર્તુળો $C_n$ ની સંખ્યા છે. ધારો કે $l$ એ આ $k$ વર્તુળોમાં એવા વર્તુળોની મહત્તમ શક્ય સંખ્યા છે કે જેથી કોઈ પણ બે વર્તુળો એકબીજાને છેદે નહીં. તો
$(A)$ $k + 2l = 22$ $(B)$ $2k + l = 26$ $(C)$ $2k + 3l = 34$ $(D)$ $3k + 2l = 40$
$(2)$ $r = \frac{(2^{199}-1)\sqrt{2}}{2^{198}}$ સાથે $M$ ધ્યાનમાં લો. $M$ ની અંદર આવેલા તમામ વર્તુળો $D_n$ ની સંખ્યા છે
$(A)$ $198$ $(B)$ $199$ $(C)$ $200$ $(D)$ $201$

જો રેખાઓ $2x + y + 12 = 0$ અને $kx - 3y - 10 = 0$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x + 3y - 1 = 0$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી (conjugate) હોય,તો $k =$

બે વર્તુળો $x^2 + y^2 - 4x - 12 = 0$ અને $x^2 + y^2 + 4x - 12 = 0$ ના સામાન્ય પ્રદેશમાં એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ અંતર્ગત છે,જેના બે શિરોબિંદુઓ વર્તુળોના કેન્દ્રોને જોડતી રેખા પર આવેલા છે. સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો:

પરવલય $y^2 = 4x + 16$ નું નાભિ એ $5$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર છે. જો $\lambda$ ના મૂલ્યો,જેના માટે $C$ એ રેખાઓ $3x - y = 0$ અને $x + \lambda y = 4$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તે $\lambda_1$ અને $\lambda_2$ $(\lambda_1 < \lambda_2)$ હોય,તો $12\lambda_1 + 29\lambda_2$ ની કિંમત . . . . . . થાય.

ધારો કે એક વર્તુળ $S = 0$ એ બંને વર્તુળો $x^2 + y^2 = 400$ અને $x^2 + y^2 - 10x - 24y + 120 = 0$ ને બહારથી સ્પર્શે છે અને $x$-અક્ષને પણ સ્પર્શે છે. વર્તુળ $S = 0$ ની ત્રિજ્યા કેટલી છે?