ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે તમામ $n \in N$ માટે:
$\cos \alpha + \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha + 2\beta) + \ldots + \cos [\alpha + (n-1)\beta] = \frac{\cos \left[\alpha + \left(\frac{n-1}{2}\right) \beta\right] \sin \left(\frac{n\beta}{2}\right)}{\sin \left(\frac{\beta}{2}\right)}$

(A) ધારો કે $P(n): \cos \alpha + \cos (\alpha + \beta) + \ldots + \cos [\alpha + (n-1)\beta] = \frac{\cos \left[\alpha + \left(\frac{n-1}{2}\right) \beta\right] \sin \left(\frac{n\beta}{2}\right)}{\sin \left(\frac{\beta}{2}\right)}$
$n=1$ માટે,$L.H.S. = \cos \alpha$
$R.H.S. = \frac{\cos \left[\alpha + \left(\frac{1-1}{2}\right) \beta\right] \sin \left(\frac{\beta}{2}\right)}{\sin \left(\frac{\beta}{2}\right)} = \cos \alpha$
$L.H.S. = R.H.S.$ હોવાથી,$P(1)$ સત્ય છે.
ધારો કે કોઈ $k \in N$ માટે $P(k)$ સત્ય છે:
$P(k): \cos \alpha + \cos (\alpha + \beta) + \ldots + \cos [\alpha + (k-1)\beta] = \frac{\cos \left[\alpha + \left(\frac{k-1}{2}\right) \beta\right] \sin \left(\frac{k\beta}{2}\right)}{\sin \left(\frac{\beta}{2}\right)} \quad \ldots (i)$
$n=k+1$ માટે,આપણે સાબિત કરવાનું છે:
$P(k+1): \sum_{i=0}^{k} \cos(\alpha + i\beta) = \frac{\cos \left[\alpha + \frac{k\beta}{2}\right] \sin \left(\frac{(k+1)\beta}{2}\right)}{\sin \left(\frac{\beta}{2}\right)}$
$L.H.S. = [\cos \alpha + \ldots + \cos(\alpha + (k-1)\beta)] + \cos(\alpha + k\beta)$
$= \frac{\cos \left(\alpha + \frac{k\beta}{2} - \frac{\beta}{2}\right) \sin \left(\frac{k\beta}{2}\right)}{\sin \left(\frac{\beta}{2}\right)} + \cos(\alpha + k\beta)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને સાદું રૂપ આપતા:
$= \frac{\cos(\alpha + \frac{k\beta}{2}) \sin(\frac{(k+1)\beta}{2})}{\sin \frac{\beta}{2}}$
આમ,$P(k+1)$ સત્ય છે. ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,$P(n)$ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.