प्रति-त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य मानों का उप | vedclass

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Question

(D) माना $f(x) = 16((\sec^{-1} x)^2 + (\operatorname{cosec}^{-1} x)^2)$ है।हम जानते हैं कि सभी $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ के लिए $\sec^{-1

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$22$

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(D) माना $f(x) = 16((\sec^{-1} x)^2 + (\operatorname{cosec}^{-1} x)^2)$ है।हम जानते हैं कि सभी $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ के लिए $\sec^{-1} x + \operatorname{cosec}^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है।माना $a = \sec^{-1} x$ है। तब $\operatorname{cosec}^{-1} x = \frac{\pi}{2} - a$ होगा।$\sec^{-1} x$ का प्रांत $a \in [0, \pi] \setminus \{\frac{\pi}{2}\}$ है।इस मान को व्यंजक में रखने पर, हमें प्राप्त होता है $f(a) = 16(a^2 + (\frac{\pi}{2} - a)^2) = 16(a^2 + \frac{\pi^2}{4} - \pi a + a^2) = 16(2a^2 - \pi a + \frac{\pi^2}{4}) = 32a^2 - 16\pi a + 4\pi^2$।यह $a$ में एक द्विघात समीकरण है जो ऊपर की ओर खुलता है। इसका शीर्ष $a = \frac{-(-16\pi)}{2(32)} = \frac{\pi}{4}$ पर है।चूंकि $a \in [0, \pi] \setminus \{\frac{\pi}{2}\}$, न्यूनतम मान $a = \frac{\pi}{4}$ पर प्राप्त होता है।$	ext{न्यूनतम} = f(\frac{\pi}{4}) = 32(\frac{\pi^2}{16}) - 16\pi(\frac{\pi}{4}) + 4\pi^2 = 2\pi^2 - 4\pi^2 + 4\pi^2 = 2\pi^2$।अधिकतम मान अंतराल $[0, \pi] \setminus \{\frac{\pi}{2}\}$ की सीमाओं पर प्राप्त होता है, जो $a=0$ या $a=\pi$ हैं।$f(0) = 16(0^2 + (\frac{\pi}{2} - 0)^2) = 16(\frac{\pi^2}{4}) = 4\pi^2$।$f(\pi) = 16(\pi^2 + (\frac{\pi}{2} - \pi)^2) = 16(\pi^2 + \frac{\pi^2}{4}) = 16(\frac{5\pi^2}{4}) = 20\pi^2$।अतः, अधिकतम मान $20\pi^2$ है और न्यूनतम मान $2\pi^2$ है।योग $20\pi^2 + 2\pi^2 = 22\pi^2$ है।

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