$r$ का वह मान जिसके लिए $^{15}C_{r+3} = ^{15}C_{2r-6}$ है,वह है

$_n{P_r} \div \binom{n}{r} = ..........$

$8$ लड़कों और $5$ लड़कियों के एक समूह में से $5$ व्यक्तियों की एक समिति बनानी है। यदि समिति में कम से कम $2$ लड़कियाँ और अधिक से अधिक $2$ लड़के हों,तो ऐसी कितनी समितियाँ बनाई जा सकती हैं?

कथन-$1$: $10$ समान गेंदों को $4$ अलग-अलग बक्सों में $^9C_3$ तरीकों से वितरित किया जा सकता है ताकि कोई भी बक्सा खाली न रहे।
कथन-$2$: $9$ स्थानों में से किन्हीं $3$ स्थानों को $^9C_3$ तरीकों से चुना जा सकता है।

दो कलश हैं। कलश $A$ में $3$ अलग-अलग लाल गेंदें हैं और कलश $B$ में $9$ नीली गेंदें हैं। यदि प्रत्येक कलश से दो गेंदें यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं और उनकी अदला-बदली की जाती है,तो यह क्रिया कितने तरीकों से की जा सकती है?

यदि $\alpha = \binom{m}{2}$ है,तो $\binom{\alpha}{2} = \dots$