सत्यापित कीजिए कि फलन $y=c_{1} e^{a x} \cos b x+c_{2} e^{a x} \sin b x,$ जहाँ $c_{1}, c_{2}$ स्वेच्छ अचर हैं,अवकल समीकरण $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 a \frac{d y}{d x}+\left(a^{2}+b^{2}\right) y=0$ का एक हल है।

दिया गया फलन $y=e^{a x}\left[c_{1} \cos b x+c_{2} \sin b x\right]$ है .........$(1)$
समीकरण $(1)$ का $x$ के सापेक्ष दोनों ओर अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है
$\frac{d y}{d x}=e^{a x}\left[-b c_{1} \sin b x+b c_{2} \cos b x\right]+\left[c_{1} \cos b x+c_{2} \sin b x\right] e^{a x} \cdot a$
$\frac{d y}{d x}=e^{a x}\left[\left(b c_{2}+a c_{1}\right) \cos b x+\left(a c_{2}-b c_{1}\right) \sin b x\right]$ .........$(2)$
समीकरण $(2)$ का $x$ के सापेक्ष दोनों ओर अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=e^{a x}\left[\left(b c_{2}+a c_{1}\right)(-b \sin b x)+\left(a c_{2}-b c_{1}\right)(b \cos b x)\right]+\left[\left(b c_{2}+a c_{1}\right) \cos b x+\left(a c_{2}-b c_{1}\right) \sin b x\right] e^{a x} \cdot a$
$=e^{a x}\left[\left(a^{2} c_{2}-2 a b c_{1}-b^{2} c_{2}\right) \sin b x+\left(a^{2} c_{1}+2 a b c_{2}-b^{2} c_{1}\right) \cos b x\right]$
दिए गए अवकल समीकरण में $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}, \frac{d y}{d x}$ और $y$ के मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है
$L.H.S. = e^{a x}\left[\left(a^{2} c_{2}-2 a b c_{1}-b^{2} c_{2}\right) \sin b x+\left(a^{2} c_{1}+2 a b c_{2}-b^{2} c_{1}\right) \cos b x\right] - 2 a e^{a x}\left[\left(b c_{2}+a c_{1}\right) \cos b x+\left(a c_{2}-b c_{1}\right) \sin b x\right] + \left(a^{2}+b^{2}\right) e^{a x}\left[c_{1} \cos b x+c_{2} \sin b x\right]$
$=e^{a x}\left[\left(a^{2} c_{2}-2 a b c_{1}-b^{2} c_{2}-2 a^{2} c_{2}+2 a b c_{1}+a^{2} c_{2}+b^{2} c_{2}\right) \sin b x + \left(a^{2} c_{1}+2 a b c_{2}-b^{2} c_{1}-2 a b c_{2}-2 a^{2} c_{1}+a^{2} c_{1}+b^{2} c_{1}\right) \cos b x\right]$
$=e^{a x}[0 \cdot \sin b x + 0 \cdot \cos b x] = 0 = R.H.S.$
अतः,दिया गया फलन दिए गए अवकल समीकरण का एक हल है।