सत्यापित कीजिए कि दिया गया फलन $y - \cos y = x$ अवकल समीकरण $(y \sin y + \cos y + x) y' = y$ का हल है।
(N/A) दिया गया समीकरण: $y - \cos y = x$ ..........$(1)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(y) - \frac{d}{dx}(\cos y) = \frac{d}{dx}(x)$
$y' - (-\sin y) y' = 1$
$y'(1 + \sin y) = 1$
$y' = \frac{1}{1 + \sin y}$ ..........$(2)$
अब,अवकल समीकरण के $L.H.S.$ पर विचार करें:
$L.H.S. = (y \sin y + \cos y + x) y'$
समीकरण $(1)$ से $x = y - \cos y$ का मान रखने पर:
$L.H.S. = (y \sin y + \cos y + y - \cos y) y'$
$L.H.S. = (y \sin y + y) y'$
$L.H.S. = y(1 + \sin y) y'$
समीकरण $(2)$ से $y'$ का मान रखने पर:
$L.H.S. = y(1 + \sin y) \cdot \frac{1}{1 + \sin y}$
$L.H.S. = y = R.H.S.$
चूंकि $L.H.S. = R.H.S.$,अतः दिया गया फलन अवकल समीकरण का हल है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(y) - \frac{d}{dx}(\cos y) = \frac{d}{dx}(x)$
$y' - (-\sin y) y' = 1$
$y'(1 + \sin y) = 1$
$y' = \frac{1}{1 + \sin y}$ ..........$(2)$
अब,अवकल समीकरण के $L.H.S.$ पर विचार करें:
$L.H.S. = (y \sin y + \cos y + x) y'$
समीकरण $(1)$ से $x = y - \cos y$ का मान रखने पर:
$L.H.S. = (y \sin y + \cos y + y - \cos y) y'$
$L.H.S. = (y \sin y + y) y'$
$L.H.S. = y(1 + \sin y) y'$
समीकरण $(2)$ से $y'$ का मान रखने पर:
$L.H.S. = y(1 + \sin y) \cdot \frac{1}{1 + \sin y}$
$L.H.S. = y = R.H.S.$
चूंकि $L.H.S. = R.H.S.$,अतः दिया गया फलन अवकल समीकरण का हल है।
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$(B)$ यदि $b < 0$ है,तो $f$ एक ह्रासमान फलन है
$(C)$ $f(x)f(-x)=1$ सभी $x \in R$ के लिए
$(D)$ $f(x)-f(-x)=0$ सभी $x \in R$ के लिए
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$(C)$ $f(x)f(-x)=1$ सभी $x \in R$ के लिए
$(D)$ $f(x)-f(-x)=0$ सभी $x \in R$ के लिए
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