નીચેનામાંથી કયું/કયા સમીકરણ(ઓ) સુરેખ છે?

નીચેના વિધાનોનું અવલોકન કરો:
$A$. $\frac{dy}{dx} + y = x^2$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating factor) $e^x$ છે.
$R$. $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ નો સંકલ્યકારક અવયવ $e^{\int P(x) dx}$ છે.
તો, નીચેનામાંથી સાચું વિધાન કયું છે?

વિકલ સમીકરણ $\sin y \left(\frac{d y}{d x}\right) = \cos y (1 - x \cos y)$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y \tan x = \sec x$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) . . . . . . છે.

જો $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}+\frac{4x}{x^2-1}y=\frac{x+2}{(x^2-1)^{5/2}}$ નો ઉકેલ હોય,જ્યાં $x > 1$,અને $y(2)=\frac{2}{9}\log_e(2+\sqrt{3})$ તથા $y(\sqrt{2})=\alpha\log_e(\sqrt{\alpha}+\beta)+\beta-\sqrt{\gamma}$,જ્યાં $\alpha, \beta, \gamma \in N$,તો $\alpha\beta\gamma$ ની કિંમત $........$ થાય.

ધારો કે $Y=Y(X)$ પ્રથમ ચરણમાં આવેલો એક વક્ર છે,જેથી સ્પર્શક રેખા $Y-y=Y^{\prime}(x)(X-x)$ અને યામ અક્ષો દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ,જ્યાં $(x, y)$ એ વક્ર પરનું કોઈપણ બિંદુ છે,તે હંમેશા $\frac{-y^2}{2 Y^{\prime}(x)}+1$ છે,જ્યાં $Y^{\prime}(x) \neq 0$. જો $Y(1)=1$ હોય,તો $12 Y(2)$ ની કિંમત શોધો.