अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = xy - 1 + x - y और | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = xy - 1 + x - y$.पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = x(y + 1) - 1(y + 1) = (x - 1)(y + 1)$.यह एक चर

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$y(1) = e^{-\frac{1}{2}} - 1$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = xy - 1 + x - y$.पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = x(y + 1) - 1(y + 1) = (x - 1)(y + 1)$.यह एक चर पृथक्करणीय अवकल समीकरण है: $\frac{dy}{y + 1} = (x - 1) dx$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y + 1} = \int (x - 1) dx$.$\ln|y + 1| = \frac{x^2}{2} - x + C$.प्रारंभिक शर्त $y(0) = 0$ का उपयोग करने पर: $\ln|0 + 1| = \frac{0^2}{2} - 0 + C \Rightarrow \ln(1) = C \Rightarrow C = 0$.अतः,$\ln|y + 1| = \frac{x^2}{2} - x$,जिसका अर्थ है $y + 1 = e^{\frac{x^2}{2} - x}$.इसलिए,$y(x) = e^{\frac{x^2}{2} - x} - 1$.$y(1)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 1$ रखने पर: $y(1) = e^{\frac{1^2}{2} - 1} - 1 = e^{\frac{1}{2} - 1} - 1 = e^{-\frac{1}{2}} - 1$.

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = xy - 1 + x - y$ और प्रारंभिक शर्त $y(0) = 0$ को संतुष्ट करने वाले $y(x)$ के लिए निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

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बिंदु $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ से गुजरने वाले उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण $\sin x \cos y \, dx + \cos x \sin y \, dy = 0$ है।

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उस वक्र का समीकरण क्या है जिसकी प्रवणता $\frac{y - 1}{x^2 + x}$ है और जो बिंदु $(1, 0)$ से होकर गुजरता है?

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अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \sqrt{4 - y^2}$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $-2 < y < 2$ है।

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